■과학기술


수학의 변증법

번역*김영식 / 연구원, 과학기술자

(* 현대의 과학기술은 수학에 많은 부분 의존하고 있다. 그래서 과학기술을 쉽게 이해하기 위해서는 무엇보다도 수학을 이해해야 한다. 이러한 이유로 수학에 대해 쉽게 설명된 글이 있기에 번역하였다. 이 글은 미국의 진보노동당(Progressive Labor Party) 웹 페이지 http://www.plp.org/misc/dialofmath.html에 올라온 글이다. 이 글은 1편 수학의 변증법에 이어, 2편 기하학의 변증법 그리고 3편 산술연산과 기하학의 상호관계로 구성되어 있다.)


수학은 우리 생활의 한부분이다. 잔돈을 계산할 때도 도로 지도를 읽을 때도 책꽂이를 만들 때도 그리고 논리적으로 증명할 때도 수학을 사용한다.
이 글에서 두 가지 중요한 점을 이야기할 것이다. 먼저 수학이 매우 변증법적이라는 점이다. 수, 도형, 공식 전반에 걸쳐 변증법적 유물론의 법칙과 범주가 작동한다. 수학을 이해하는 것은 변증법을 얼마나 이해하고 있는지에 의존한다.
두 번째는 수학적 생각이 실제 세계를 반영하고 있다는 점이다. 수학의 법칙이 하늘에서 뚝 떨어진 것도 아니고, 소수 천재들의 머릿속에서 마술처럼 생겨난 것도 아니다. 수학적인 생각은 인간의 실천의 필요에서부터 나왔고 실제 삶의 투쟁 속에서 나온 것이다.



1. 산술연산(Arithmetic)의 변증법

몇 명의 아이들이 핫도그를 원하고 있나?

김씨는 아이들을 위해 핫도그 파티를 하고 있다. 몇 개의 핫도그를 요리해야할 지 알아보려고 아이들에게 물어봤다. "핫도그 먹고 싶은 사람, 손들어!" 그러자 세 명의 아이가 손을 들었다. 한 아이는 금발에 스파이더 맨 옷을 입고 있고 또 한 아이는 검은 머리에 푸른 옷을 입고 있었다. 마지막 한 아이는 갈색 머리에 빨간 목욕신발을 신고 있었다. "음, 세 명! 핫도그 세 개를 요리하면 되겠군."

일상적인 판단이지만, 이러한 과정은 변증법적 유물론에 따른 것이다. 즉 변증법적 유물론에서 ‘같은 것’과 ‘다른 것’의 개념을 적용한 것이다. 자 하나씩 살펴보자. 아이들은 모두 달랐다. 한명은 금발이고 한 명은 검은 머리이며 나머지 한명은 갈색 머리였다. 또 한명은 스파이더맨 옷을, 또 한 명은 푸른 옷을 입고 있었고 나머지 한명은 목욕신발을 신고 있었다. 김씨는 이러한 차이를 무시하고 아이들이 얼마나 같은지에만 주목하였다. 즉, 아이들은 배가 고팠고 핫도그를 먹고 싶었다는 점에 주목하고 몇 명인지를 세었다. "한넘, 두넘, 세넘" 김씨는 아이들이 가진 차이를 무시하고 단지 그들이 먹고 싶어 하는 것에만 초점을 맞추었다.

핵심 범주 : 구체(Concrete)와 추상(Abstract)

김씨는 수학의 핵심인 구체와 추상의 개념을 적용한 것이다. "구체"와 "추상"은 변증법적 유물론의 범주중 하나인 철학적 개념이다.

"구체(Concrete)"는 라틴어로 "결합하다. 자라서 하나가되다"는 뜻이다. 만약 사람들에게 어떤 것의 구체적인 본질에 대해 이야기 하라고 하면 그 사물이 공통으로 가지고 있는 특별한 면을 이야기 할 것이다. (건축 자재로 콘크리트(Concrete)를 생각해 보자. 콘크리트는 광물성 재료 모두를 한데 섞고 굳혀서 지하실 벽 재료로 사용된다.) 첫 번째 아이를 보고 금발에 스파이더맨 옷을 입고 있다고 말할 때, 그것이 구체적인 특징이 되는 것이다.

모든 사람들은 추상적 개념을 이용 한다.

많은 사람들은 추상적인 개념을 엄청나게 복잡하고 어려운 것으로 생각하고 있다. 그렇지 않으면 아마 추상적인 생각(사유)은 박사학위를 받은 "가방끈이 긴" 소수의 사람들이 할 수 있는 것쯤으로 생각한다. 그러나 전혀 그렇지 않다. 모든 사람들이 어느 정도 추상적인 생각을 하고 있다. "추상(abstract)"이라는 단어는 라틴어의 "떨어뜨리다. draw away"의 뜻에서 나왔다. 어떤 것을 마음속에서 추상적으로 다룰 때, 그 사물의 구체적인 면을 뒤로 밀쳐둔다(즉 무시한다).

"추상"은 "실제적이지 않다"는 의미가 아니다. 어떤 사물이나 과정에서 나타나는 추상적인 특성은 구체적인 특성만큼이나 실제적이다. 앞의 예에서 "핫도그를 원하는 아이들"도 여러 아이들을 하나의 개념으로 추상화시킨 것이다. 이렇게 추상화시킨 개념은 아이들의 구체적인 머리색이나 옷만큼이나 실질적이다. 게다가 모든 사물에는 구체적인 면만큼이나 많은 추상적인 면이 있다. 예를 들어, 김씨가 핫도그 요리를 하면서 뒤뜰에 있는 사람들과 한 쌍의 고양이와 나무들을 보았다고 하자. 그가 본 사람들과 고양이, 나무들의 특별한 면에 대해 생각하지 않고, 그것들 모두 살아 있는 존재라는 일반적인 특징에 주목할 수 있을 것이다. 그리고 배고픈 아이들에 대해 또 다른 추상적인 면을 찾아보면, 그들은 (고양이와 같이) 네발로 걷지 않고 직립보행을 한다는 점이다. 이러한 생각들이 모두 사물의 현상을 추상적으로 보는 것이다.
추상과 구체 : 배고픈 아이들이 몇 명인지 세는 것

앞에서 아이들을 셀 때 김씨는 그들의 구체적인 특징, 즉 그들의 머리색과 옷을 무시했다.(즉 추상화했다.) 그리고 마음속에 "핫도그를 원하는 아이들"이라는 추상적인 생각을 만들어 낸 것이다. 한명의 "핫도그를 원하는 아이"와 다른 한명의 "핫도그를 원하는 아이"는 같기 때문에, 그들이 몇 명인지를 셀 수 있었다. 이때 아이들이 어떤 옷을 입었는지 그들의 머리색이 무엇인지는 중요하지 않았다. 그러므로 수를 샌다는 것은 추상화시키는 능력을 포함하는 것이다.

더 많은 배고픈 아이들, 더 높은 수준의 추상화

핫도그를 먹고 싶어 하는 아이들이 더 있다. 두 명의 아이들이 더 달려와 핫도그를 요구했다. 그러면 김씨는 앞에서와 같은 과정을 밟을 것이다. 새로 달려온 아이들의 옷이나 머리 스타일을 무시하고 핫도그를 원하는 아이들의 수를 세고, 두 명임을 확인할 것이다. 앞에서는 3명의 아이들이 핫도그를 원했고, 지금 2명이 더 왔다. “음 그러면 3+2=5. 모두 5명의 아이들이 핫도그를 원하고 있군.”

여기서 김씨는 더 높은 수준의 추상화 단계로 옮겨갔다. 더 이상 3과 2의 숫자가 "핫도그를 원하는 아이들"의 개념에 메이지 않는다. 김씨는 완전히 3과 2의 숫자를 아이들의 특징으로부터 분리해서 완전히 추상적인 숫자를 가지고 정신적인 작업을 수행한 것이다. 간단하게 말해서 3과 2의 숫자로 산술연산을 한 것이다. 그래서 불판위에 핫도그를 몇 개를 올려놓아야 할지를 확신을 가지고 요리를 할 수 있게 되었다.


옛날 인간은 숫자로 투쟁했다.

이제 김씨의 핫도그 파티를 떠나 2-3천 년 전 과거로 돌아가 보자. 인간의 초기 역사를 살펴본다면 김씨가 핫도그 파티에서 생각했던 것과 유사한 인식 발전의 역사를 살펴 볼 수 있을 것이다.

인간이 어떤 물건을 셀 수 있기까지는 오랜 시간이 필요했다. 그리고 수의 개념을 가지고 일을 하는 데는 더 많은 시간이 필요했다. 옛날 사람들은 숫자에 개념이 없었다. 그러나 그들은 일상에서 사용하는 여러 가지 물건더미 들이 각각 얼마나 큰지 판단하고 생각할 수 있었다. 예를 들어, 과거 사람들은 20개 통나무 한 묶음이 5개 통나무 한 묶음보다 크다는 것을 말할 수 있었다. 그리고 통나무의 개수는 모호하게나마 장작과는 분리할 수 없는 특성으로 보았다. 그리고 그 특성이 (20이나 5와 같은)특정한 수로는 이해되지는 않았다.


(박스) <수학과 실제 세계에 대한 엥겔스의 설명>

수학과 실제 세계에 대해서 엥겔스는 다음과 같이 설명한다.

순수수학에서 단순히 정신의 창조물과 상상물만을 다루는 것이 아니다. 수와 도형의 개념은 현실세계에서 유래한 것이지 결코 다른 곳에서 유래한 것이 아니다. 사물의 개수를 세는데 있어 최초의 수단이며, 처음으로 산술계산을 가르쳐 준 것은 손가락 열 개다. 그러므로 산술연산은 ‘정신’이 창조한 것이 아니다. 숫자를 세기 위해서는 어떤 대상이 필요하고 그 대상에서 개수 이외의 다른 모든 특성을 무시할 수 있는 능력이 필요하다. 이러한 능력은 오랜 역사를 통해 경험적으로 발전한 결과이다. 수의 개념과 마찬가지로 도형의 개념도 전적으로 외적 세계에서 유래한 것이지 결코 머릿속의 순수한 사유로부터 나온 것이 아니다. 형체를 가진, 그리고 그 형체를 서로 비교할 수 있는 사물이 있어야 우리는 도형에 대한 개념을 이해할 수 있는 것이다.

순수 수학은 현실세계에서 공간적 형태를 취하고 양적인 관계를 갖는 것, 즉 매우 실제적인 소재를 대상으로 하고 있는 것이다. 그러나 이 소재가 대단히 추상적인 모습으로 나타나기 때문에 이 소재가 외적 세계(실제 세계)에서 나왔다는 사실이 표면상으로 감추어져 버린다. 그리고 이것의 형태와 관계를 순수 그 자체로 연구하기 위해서는 그 형태와 관계가 담고 있는 내용자체를 분리해서 무시해야 한다. 그래서 부피가 없는 점, 부피와 넓이가 없는 선, a와 b, x와 y 변수와 상수가 나오고 결국 처음으로 정신 자신의 자유스런 창조물과 상상물, 즉 상상적인 양에 도달한다.

상호관계로부터 명백하게 유도된 수학적인 크기는 그것이 선험적인 기원에서 비롯되었다는 것을 증명하는 것이 아니라 그들 사이의 합리적인 상호 연관성에서 비롯되었음을 증명하는 것이다. 직사각형의 한 변을 중심으로 회전시키면 원통이 된다는 생각은 사람들이 불완전한 형태로 나마 무수하게 현실적인 직사각형과 원통을 연구한 결과였을 것이다. 다른 모든 과학과 마찬가지로 수학도 인간의 필요에 의해 나온 것이다. 다시 말하면 수학은 토지 측량 및 내용물을 담을 그릇의 크기를 계산하기 위해 그리고 시간을 계산하고 (기계)역학에서 파생된 것이다.

그러나 모든 사유적 분야에서와 같이 일정한 발전단계에서는 현실세계에서 추상된 법칙이 현실세계와 분리되어, 마치 현실세계 밖에서부터 유래되어 현실세계를 지배하는 법칙처럼 독립된 어떤 것으로 현실세계와 대립되게 되었다. 이러한 과정은 사회와 국가에서도 일어난다. 이와 마찬가지로 순수 수학도 바로 실제 세계에서 유래한 것이고 또 실제 세계의 구성형식의 일부분을 표현한 것이지만, 그 때문에 이 세계에 적용될 수 있는 것이다. --그리고 무엇보다도 현실세계에서 나왔기 때문에 적용 가능한 것이다.
-엥겔스, 반듀링론 page 46 (새길)-----(박스 끝)


손가락, 발가락 그리고 수

인간발달의 다음 단계에서, 수는 여러 물건들의 특성과 분리할 수 없는 것으로 나타났다. 수는 아직까지 물건과 구별될 수 없었고, 숫자 자체도 물건과도 아직 구분되지 않았다.

예를 들어, 옛날 일부 사람들은 숫자 5를 대신해서 "손"이라는 단어를, 숫자 20을 대신해서 "사람 전체"라는 단어를 사용했었다. "20"은 사람의 손가락과 발가락만큼을 의미했다. 숫자 5와 20은 손가락과 발가락과 분리된 추상적인 수로 이해되지 않았다.

거대한 진보 : 추상적인 숫자

옛날 사람들은 물건의 개수를 비교할 필요가 있었다. 숫자를 사용하지 않고서도 사람들은 어떤 물건들이 더 많은지 서로 비교하면서 구분할 수 있었다. 장작더미 혹은 소 떼 들을 이런 식으로 비교할 수 있었다. 이런 비교는 의식주를 위한 일상적인 활동에서 나온 것이다. 많은 세대가 지나는 동안 사람들은 수백만 번 이런 활동을 반복했을 것이다. 이러한 수많은 비교과정을 통해 점차적으로 "추상적인 숫자"[한명의 소년과 같은 것을 ‘구체적인 수(명수)’라고 하고, 단지 하나, 둘과 같이 숫자만 때 놓은 것을 ‘추상적인 숫자(무명수)’라고 한다.]개념이 발생한 것이다. 그것은 더 이상 통나무 5개나 20개가 아니라 그냥 "5"나 "20"이 되었다. 이 추상적인 숫자는 구체적인 통나무 묶음이나 소 떼 들에서부터 추상화된 개념인데 오랜 세월이 지나 원래 그랬던 것처럼, 원래부터 있었던 것처럼 생각되었다.

그러므로 추상적인 수는 수세기 동안 실제 사람들에 의한 육체적 노동(통나무, 바위, 동물들에 대한 노동)과 정신적인 노동(물건들의 수를 비교하는 것)의 결과인 것이지 고대 그리스나 이집트에서 마법사에 의해 갑자기 생각이 난 것이 아니다.

수의 정의

다음은 수학책에서 읽을 봤을 법한 수에 대한 "엄격한" 정의이다. 이 정의로부터 숫자의 개념이 일상의 물건들에 대해서 얼마나 오랫동안 정신적 육체적 투쟁을 반영하고 있는지를 알 수 있을 것이다.

“수는 물건들을 여러 개 모아놓은 것의 특징이다. 그 물건들을 모아 놓은 것과 숫자는 서로 1대 1로 대응하는데, 그러한 모음들에 공통적이다. (핫도그 5개와 장난감 5개에서 5라는 숫자와 1대1로 대응하고 5개라는 공통적인 특성이 있다.) 이 특징은 그런 대응이 불가능한 모음과는 다르다.”

함께 쌓아 올리는 것 : 산술연산(산수)의 기원

(추상적인) 숫자는 옛날 사람들이 물건더미들을 매일, 매년 비교하면서 나온 것이다. 옛날 사람들은 모아 놓은 물건들을 비교했을 뿐만 아니라 모아 놓은 물건들을 서로 연결시키기도 했다. 만약 5개의 통나무더미와 7개의 통나무더미를 각각 1개의 묶음으로 묶어 놓았다고 해보자. 만약 두 묶음을 합친다면 12개의 통나무 더미가 될 것이다. (통나무 더미처럼) 물건더미들을 반복해서 연산을 한 결과, 사람들은 수를 가지고 연산하는 방법을 발견한 것이다. 숫자를 더하는 것은 두 개 혹은 그 이상의 모음들을 함께 놓거나 합치는 것과 같다. 곱셈은 아마도 같은 수의 모음들을 셀 때 나온 것으로 보인다. 예들 들어 두개씩 묶어 놓은 물건이 4개가 있다면 모두 8개가 되고, 세 개씩 모아 놓은 물건이 2묶음 있다면 모두 6개가 된다. 빼기와 나누기 역시 같은 방식에서 나왔을 것이다. 즉, 물건들을 모아 놓은 더미를 다루는 실제 사람들의 삶 속에서 나왔을 것이다.

수의 법칙

수를 세는 과정에서 옛날 사람들은 물건과 분리된 숫자들만의 관계를(특히 5와 7을 더하면 12가 된다) 이해했을 뿐만 아니라 일반적인 법칙을 만들었을 것이다. 예를 들어 매일 매일 경험을 통해 옛날 사람들은 더하는 순서를 바꾸어도 같다는 결과를 알게 되었을 것이다. 5개의 장작더미를 먼저 세거나 7개의 장작더미를 먼저 세어도 결과적으로 모두 12개의 장작더미를 갖게 된다. 5와 7을 더하면 12가 되고 7과 5를 더해도 역시 12가 된다(나중에 수학자들은 숫자에 대한 여러 가지 많은 법칙들을 발견했다. 이것이 숫자 이론의 기초가 되는 원칙이 되었다)

산술연산에서 핵심은 숫자들 사이의 관계이다. 그러나 이들 관계는 물건들을 모아놓은 것들 사이의 관계를 추상화한 이미지이다. 산술연산은 (많은 지도자급 “학자”들이 믿어 왔던 것과는 다르게) 순수한 사유(생각)에서 나온 것이 아니다. 반면에, 산술연산은 실질적인 노동 속에서 나타나는 명확한 특징들 사이의 관계인 것이다. 그것은 많은 세대의 장구하고 실질적인 경험으로부터 나왔다.

수학 기호(심벌)는 수천가지 물건에 대해 가치가 있다.

옛날 사람들은 어떤 물건들의 수를 다른 사람에게 알려줄 필요성이 있다는 것을 알게 되었다. 이 때문에 수에 대한 개념이 생겼고 숫자에 이름을 붙여주게 되었다. 사회생활이 더 복잡해짐에 따라 점점 더 큰 가축 떼들 혹은 교환하기 위한 상품들의 개수를 셀 수 있었다. 그리고 다른 사람들에게 서로 그 숫자를 알려주는 것이 중요하게 되었다. 이것을 위해 숫자의 기호(심벌)와 이름을 더 편리하게 개선해야 했다.

숫자에 기호(심벌)를 도입한 시기는 명백하게 인간이 글자를 알기 시작하면서부터였다. 이후 기호(심벌)는 숫자들 사이의 연산으로, 예를 들어 덧셈에 대해서 + 기호(심벌)로 발전했다. 이러한 숫자와 수학적 연산에 대한 기호(심벌)는 산술연산의 발전에 큰 역할을 했다. 예를 들어 대부분의 사람들은 “머릿속에서” 계산하는 것 보다 “종이위에 계산 하는 것”이 더 쉽게 느꼈다. 수학적 기호는 머릿속(정신적인) 연산을 계산으로 대체할 수 있게 했다. 이러한 계산은 글씨로 적을 수 있었고 모든 계산 과정을 볼 수 있게 하여, 모든 것을 검토할 수 있게 했다. 그래서 계산은 정확한 규칙에 의해 지배받게 할 수 있다. 만약 어떤 줄에 있는 숫자를 더한다고 할 때, “첫 번째 줄을 먼저 더하고 그 다음에 10번째 줄로 가져와서 더해라”는 식의 연산이 가능하다.

(박스) <세상을 이해하는 데서 ‘추상’의 중요성에 대한 레닌의 설명>

세상을 이해하는데 있어 추상의 중요성을 레닌은 다음과 같이 설명한다.

구체적인 것으로부터 추상적인 것으로 전계되는 사유는 - 만약 그것이 올바른 것이라고 할 때……… - 진리로‘부터’ 멀어지는 것이 아니라 오히려 진리에 가까이 접근한다. ‘물질’이라는 추상, 자연‘법칙’이라는 추상, ‘가치’라는 추상 등등 한마디로 말해 ‘모든’ 과학적인(올바른, 진지하게 생각하는, 무의미하지 않은) 추상들은 자연을 보다 깊게, 보다 정확하게 보다 ‘완벽하게’ 반영한다. 생생한 직관에서 추상적인 사유로 그리고 ‘이 추상적인 사유로부터 실천으로’ - 이것이 ‘진리’ 인식의, 즉 객관적 실재를 인식하는 변증법적인 길이다.(강조는 레닌)
-레닌, 철학 노트 page 120(논장) ----- (박스 끝)


기호(심벌)의 발전으로 엄청나게 큰 수를 쉽게 다룰 수 있었다. 만약 한 친구가 김씨에게 “일곱(칠)”이라고 말했다면 김씨는 일곱 개의 물건을 생각하지 않을 것이다. 대신에 기호 “7”을 생각할 것이다. 이 “7”은 추상적인 숫자 “일곱(칠)”에 대해 명백한 틀을 형성한다. 18759와 같은 큰 수에 대해서, 그것을 어떤 물건들이 이 숫자만큼 있다고 마음속에 그리면서 시작할 수 없을 것이다. 이러한 큰 수를 이해하기 위해서 “18759”와 같은 기호(심벌)가 필요하다. 이러한 기호의 발명은 숫자의 발견을 더 용이하게 하였다. 이 발견은 직접적인 관찰과 수를 세는 행위와는 관계없이 발생했을 것이지만, 큰 수에 대한 연산은 고대 사회에서 세금을 걷거나 무기를 만들거나 준비하기 위해서 필요했을 것이다.

왜 산술연산은 일상생활에서 그렇게 유용할까?

왜 산술연산이 식료품가계나 경기장 등에서 이렇게 많이 도움이 될까? 지금까지 살펴본 역사적 과정에서 그 답을 얻을 수 있을 것이다. 산술연산의 결론과 개념은 수천 년의 세월과 경험에서부터 나왔다. 이러한 개념은 추상적인 형식 속에 사람들이 생활하는 실제 세계를 반영한다. 아이들은 방안에 있는 사람이나 장난감을 셀 수 있고 밤하늘에 별을 셀 수 있다. 산술연산은 이러한 것들의 일반적인 특성들로부터, 즉 특별하고 구제적인 것에서부터 추상적인 형태로 발전한 것이다. 산술연산이 이렇게 생활에 유용한 이유는 산술연산이 많은 실제 상황에 대해 모두 적용할 수 있게 일반적인 특성(추상성)을 고려한 것이기 때문이다. 산술연산의 바로 이 추상성은 그것을 아주 넓게 이용할 수 있도록 해 준다. 그러나 반드시 기억해야 할 것이 있다. 이 추상성은 공허한 추상(빈 추상)도 아니며, 신비스러운 어떤 것도 아니다. 이 추상은 당신과 그렇게 다르지 않는 사람들, 당신의 조상들의 오랫동안 실천적인 경험으로부터 나온 것이라는 점이다. (다음호에 “기하학의 변증법”으로 계속됩니다.)